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\chapter{Dualité}\label{V}




















On trouvera dans cet exposé quelques théorèmes et compatibilités, tous 
relatifs à la dualité de Poincaré. Au paragraphe \ref{V:1}, le théorème de 
bidualité locale en dimension $1$ \cite[I.5.1]{sga5} et quelques calculs de 
deux. Au paragraphe \ref{V:2}, une démonstration très économique de la dualité 
de Poincaré sur les courbes, que m'a apprise M.\ Artin. Au paragraphe 
\ref{V:3}, une compatibilité qui fait le lien entre deux définitions de 
l'accouplement qui donne lieu à la dualité de Poincaré pour les courbes: par 
cup-produit, ou par autodualité de la jacobienne. Au paragraphe \ref{V:4}, 
enfin, la preuve de la compatibilité du titre. 

Dans tout l'exposé, les schémas seront noethériens et séparés, et $n$ 
est un entier inversible sur tous les schémas considérés. 










\section{Bidualité locale, en dimension \texorpdfstring{$1$}{1}}\label{V:1}





\subsection{}\label{V:1-1}

Soit $S$ un schéma régulier purement de dimension $1$. Nous nous proposons 
de montrer que le complexe réduit à $\dZ/n$ en degré $0$ est 
dualisant, i.e. que pour $\sK\in \ob\eD_c^b(S,\dZ/n)$ ($(-)_c$ pour 
constructible), si on pose $D\sK=\rHom(\sK,\dZ/n)$, alors $D\sK$ est encore 
constructible à cohomologie bornée, et que le morphisme canonique $\alpha$ 
de $\sK$ dans $D D\sK$ est un isomorphisme. 

Pour $\sK$ dans $\eD^-$, et $\sL$ quelconque, on a 
\[
  \hom(\sK\lotimes \sL,\dZ/n) = \hom(\sL,\Hom(\sK,\dZ/n)) \text{.}
\]
Le morphisme de $\sK$ dans $DD\sK$ est défini en supposant $D\sK$ dans 
$\eD^-$; si $\beta:D\sK\lotimes\sK\to \dZ/n$ est l'accouplement canonique, il 
est défini par l'accouplement 
$\sK\lotimes D\sK=D\sK\lotimes \sK \xrightarrow\beta \dZ/n$. 





\subsection{}\label{V:1-2}

Soit $f:X\to S$ un morphisme séparé de type fini. Posons 
$\sK_X=\eR f^!\dZ/n$. Pour $\sK\in \ob\eD^-(X,\dZ/n)$, on pose 
$D\sK = \rHom(\sK,\sK_X)$. L'adjonction entre $\eR f_!$ et $\eR f^!$ 
assure que 
\[\xymatrix{
  \eR f_\ast \sK\lotimes \eR f_\ast D\sK \ar[r] 
    & \eR f_! (\sK\lotimes D\sK) \ar[r] 
    & \eR f_! \eR f^! \dZ/n \ar[r] 
    & \dZ/n \text{.}
}\]
La symétrie de cette description montre que, pour $f$ propre, le diagramme 
\begin{equation*}\tag{1.2.1}\label{V:eq:1-2-1}
\xymatrix{
  \eR f_\ast \sK \ar[r] \ar[d] 
    & D D \eR f_\ast \sK \ar[d]^-\wr \\
  \eR f_\ast D D \sK \ar[r]^\sim 
    & D\eR f_\ast D\sK
}
\end{equation*}
est commutatif. 

Si $f$ est l'inclusion d'un point fermé, on sait que 
$\eR f^!\dZ/n=\dZ/n(-1)[-2]$ -- soit, à torsion et décalage près, $\dZ/n$. 
Sur le spectre d'un corps, ce complexe est dualisant (dualité de Pontrjagin 
pour les $\dZ/n$-modules). D'après \eqref{V:eq:1-2-1}, on a donc 
$\sK\iso D D\sK$ pour $\sK$ de la forme $\eR f_!\sL$ -- et donc lorsque le 
support de $\underline\h^\bullet(\sK)$ est fini. 





\begin{theorem_}\label{V:1-3}
Soient $j:U\hookrightarrow S$ un ouvert dense de $S$ et $\sF$ un faisceau 
localement constant constructible de $\dZ/n$-modules sur $U$. On a 
$\eD j_\ast \sF = j_\ast D \sF$, i.e. $\Hom(j_\ast \sF,\dZ/n) = j_\ast\Hom(\sF,\dZ/n)$ et $\Ext^i(j_\ast\sF,\dZ/n) = 0$ pour $i>0$.
\end{theorem_}

Sur $U$, $\Ext^i(j_\ast\sF,\dZ/n)=0$ pour $i>0$, car $\sF$ est localement 
constant (et $\dZ/n$ est un $\dZ/n$-module injectif), tandis que pour $i=0$ 
c'est le dual $\sF^\vee$ de $\sF$. On vérifie que 
$\hom(j_\ast\sF,\dZ/n)=j_\ast\sF^\vee$, et il reste à vérifier la nullité 
des $\Ext^i$ ($i>0$) en les points de $S\setminus U$. Le problème est local 
en ces points. Ceci nous ramène à supposer que $S$ est un trait strictement 
local et, que $U$ est réduit à son point générique $\eta$. Soit 
$I=\gal(\bar\eta/\eta)$. Le faisceau $\sF$ s'identifie au module galoisien 
$\sF_{\bar\eta}$, et la fibre spéciale de $j_\ast \sF$ à 
$\sF_{\bar\eta}^I$. 

Soit $i$ l'inclusion du point fermé $s$, et appliquons $D$ aux suites 
exactes 
\[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & j_! \sF \ar[r] 
    & j_\ast \sF \ar[r] 
    & i_\ast \sF_{\bar\eta}^I \ar[r] 
    & 0 \\
  0 \ar[r] 
    & j_! \sF_{\bar\eta}^I \ar[r] \ar[u] 
    & \sF_{\bar\eta}^I \ar[r] \ar[u] 
    & i_\ast \sF_{\bar\eta}^I \ar[r] \ar[u]
    & 0 \text{.}
}\]

On obtient un morphisme de triangles 
\[\xymatrix{
  i_\ast\left(\sF_{\bar\eta}^I\right)^\vee (-1)[-2] \ar[r] \ar@{=}[d] 
    & D j_\ast\sF \ar[r] \ar[d] 
    & \eR j_\ast \sF^\vee \ar[d] \\
  i_\ast\left(\sF_{\bar\eta}^I\right)^\vee(-1)[-2] \ar[r] 
    & \left(\sF_{\bar\eta}^I\right)^\vee \ar[r] 
    & \eR j_\ast \sF_{\bar\eta}^I \text{.}
}\]
La suite exacte longue déduite de la première ligne fournit la nullité des 
$\Ext^i$ ($i>2$) et, prenant la fibre en $s$, on trouve 
\[\xymatrix@=0.7cm{
  0 \ar[r] 
    & \left(\underline\h^1(D j_\ast\sF\right)_s \ar[r] 
    & \h^1\left(I,\sF_{\bar\eta}^\vee\right) \ar[r]^-\partial \ar[d] 
    & \left(\sF_{\bar\eta}^I\right)^\vee(-1) \ar[r] \ar@{=}[d] 
    & \left(\underline\h^2 D j_\ast\sF\right)_s \ar[r] 
    & 0 \\
  & 0 \ar[r] 
    & \h^1\left(I,(\sF_{\bar\eta}^I)^\vee\right) \ar[r]^-\partial 
    & \left(\sF_{\bar\eta}^I\right)^\vee(-1) \ar[r] 
    & 0 \text{.}
}\]
Puisque 
$\left(\sF_{\bar\eta}^I\right)^\vee = \left(\sF_{\bar\eta}^\vee\right)_I$, 
posant $M=\sF_{\bar\eta}^\vee$, il faut finalement vérifier que 
\[\xymatrix{
  \h^1(I,M) \ar[r]^-\sim 
    & \h^1(I,M_I) \text{.}
}\]
Si $p$ est l'exposant caractéristique résiduel, $I$ est extension d'un 
groupe isomorphe à $\widehat\dZ_{p'} = \varprojlim_{(m,p)=1} \dZ/m$ par un 
$p$-groupe $P$. Puisque $P$ est premier à l'ordre de $M$, on a 
$\h^1(P,M)=0$ ($i>0$) et $(M_I)^P=(M^P)_I$. Ceci permet de remplacer $M$ par 
$M^P$ et $I$ par $I/P$. On a enfin un isomorphisme fonctoriel 
$\h^1(\widehat\dZ_{p'},M)\sim ($coinvariants de $\widehat\dZ_{p'}$, dans $M)$, 
d'où le théorème. 





\begin{theorem_}\label{V:1-4}
Pour $\sK\in \ob\eD_c^b(S,\dZ/n)$, on a $\sK\iso D D \sK$.
\end{theorem_}

Par dévissage, on se ramène à supposer que $\sK$ est réduit à un 
faisceau constructible $\sF$ en degré $0$, et que $\sF$ est soit à support 
fini (\ref{V:1-2}), soit de la forme $j_\ast\sF_1$ comme en \ref{V:1-3}. Dans 
ce second cas, \ref{V:1-3} nous ramène à la bidualité locale pour $\sF$ 
localement constant sur $U$. 










\section{La dualité de Poincaré pour les courbes, d'après M.\ Artin}\label{V:2}





\subsection{}\label{V:2-1}

Soit $X$ une courbe projective et lisse sur $k$ algébriquement clos. On pose 
$\sK_X=\dZ/n(1)[2]$ et, pour $\sK\in\ob \eD_c^b(X,\dZ/n)$, 
$D\sK=\rHom(\sK,\sK_X)$. Pour $M$ un $\dZ/n$-module, on pose aussi 
$D M = \hom(M,\dZ/n)$; de même pour les complexes de modules. Le morphisme 
trace $\h^0(X,\sK_X) \to \dZ/n$, ou $\eR\Gamma(X,\sK_X)\to \dZ/n$, définit un 
accouplement $\eR\Gamma(X,\sK)\lotimes\eR\Gamma(X,D\sK) \to \dZ/n$. La dualité 
de Poincaré entre cohomologie et cohomologie à supports propres d'un ouvert 
$j:U\hookrightarrow X$ de $X$ dit que, pour $\sK=j_!\dZ/n$, cet accouplement 
identifie chaque facteur au dual de l'autre. 

J'expose ci-dessous une démonstration, qui m'a été communiquée par 
M.\ Artin, de ce que pour $\sK\in\ob\eD_c^b(X,\dZ/n)$, cet accouplement est 
toujours parfait, i.e. définit un isomorphisme
\begin{equation*}\tag{2.1.1}\label{V:eq:2-1-1}
\xymatrix{
  \eR\Gamma(X,\sK) \ar[r]^-\sim 
    & D \eR\Gamma(X,D\sK) \text{.}
}
\end{equation*}

Pour tout faisceau constructible $\sF$, posons 
\[
  '\h^i(X,\sF) = \text{$\dZ/n$-dual de $\h^{-i}(X,D\sF)$.}
\]
Que \eqref{V:eq:2-1-1} soit un isomorphisme équivaut au 





\begin{theorem_}\label{V:2-2}
Pour $\sF$ un faisceau constructible de $\dZ/n$-modules, on a 
\begin{equation*}\tag{2.2.1}\label{V:eq:2-2-1}
\xymatrix{
  \h^i(X,\sF) \ar[r]^-\sim 
    & '\h^i(X,\sF) \text{.}
}
\end{equation*}
\end{theorem_}





\begin{lemma_}\label{V:2-3}
Soit $f:X\to Y$ un morphisme génériquement étale entre courbes lisses sur 
$k$. On a $\sK_X=f^\ast\sK_Y=\eR f^!\sK_Y$, avec $\tr_f$ pour flèche 
d'adjonction $\eR f_!\eR f^!\sK_Y\to \sK_Y$.
\end{lemma_}

% NOTE: \rhom or \rHom ? originally \rhom
On se ramène à vérifier que pour $f$ fini, on a 
$f_\ast \eR f^!\sK_Y = \rHom(f_\ast\dZ/n,\sK_Y)$ est $f_\ast\dZ/n$, avec $\tr_f$ 
pour flèche d'adjonction. La nullité des $\Ext^i$ ($i>0$) résulte de 
\ref{V:1-3}, et l'assertion en résulte. 

On peut dire, plus explicitement, que $\eR f^!$ est le foncteur dérivé du 
foncteur $f^!:f^!\sF(U)=\hom(f_!\dZ_U,\sF)$ et \ref{V:1-3} implique la 
nullité des $\eR^i f^!\dZ/n$ pour $i>0$.





\begin{corollary_}\label{V:2-4}
Soit $f:X'\to X$ un morphisme génériquement étale de courbes 
projectives et lisses sur $k$. On a $'\h^i(X,f_\ast \sF)='\h^i(X',\sF)$; cet 
isomorphisme est fonctoriel et le diagramme 
\[\xymatrix{
  \h^i(X,f_\ast\sF) \ar[r] \ar@{=}[d] 
    & '\h^i(X,f_\ast\sF) \ar@{=}[d] \\
  \h^i(X',\sF) \ar[r] 
    & '\h^i(X',\sF) 
}\]
est commutatif.
\end{corollary_}

L'isomorphisme est donné par \ref{V:1-2}: $D f_\ast\sF=f_\ast D\sF$. 





\subsection{}\label{V:2-5}

Prouvons \ref{V:2-2}. Si $\sF$ est réduit à $\dZ/n$ en un point, prolongé 
par $0$, on a $\h^\bullet(D\sF) = \ext^\bullet(\sF,\sK_X)=\dZ/n$ en degré 
$0$, et dans l'accouplement $\h^\bullet(\sF)\otimes\h^\bullet(D\sF) \to \dZ/n$, 
on a $1\otimes 1\mapsto 1$ (\hyperref[IV]{Cycle}, \ref{IV:2-1-5}): la dualité 
est parfaite. Le cas où $\sF$ est à support fini se traite de même. 

Pour $\sF$ constructible quelconque, $\sA$ le sous-faisceau de ses sections à 
support fini, et $\sG=\sF/\sA$, la suite exacte 
\begin{equation*}\label{V:eq:2-5-1}\tag{2.5.1}
\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \sA \ar[r] 
    & \sF \ar[r] 
    & \sG \ar[r] 
    & 0 
}
\end{equation*}
fournit un diagramme 
\begin{equation*}\tag{2.5.2}\label{V:eq:2-5-2}
\xymatrix@=.5cm{
  & & 0 \ar[r] 
    & \h^0(X,\sA) \ar[r] \ar[d]^-\wr 
    & \h^0(X,\sF) \ar[r] \ar[d] 
    & \h^0(X,\sG) \ar[r] \ar[d] 
    & 0 \\
  0 \ar[r] 
  & '\h^{-1}(X,\sF) \ar[r] 
  & '\h^{-1}(X,\sF) \ar[r] 
  & '\h^0(X,\sA) \ar[r] 
  & '\h^0(X,\sF) \ar[r] 
  & '\h^0(X,\sF) \ar[r] 
  & 0 
}
\end{equation*}
et des isomorphismes compatibles $\h^i(X,\sF)\iso \h^i(X,\sG)$, 
$'\h^i(X,\sF) \iso '\h^i(X,\sG)$ ($i\ne 0,-1$). Si $j:U\to X$ est un ouvert sur 
lequel $\sF$ est localement constant, on a une suite exacte 
\begin{equation*}\tag{2.5.3}\label{V:eq:2-5-3}
\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \sG \ar[r] 
    & j_\ast j^\ast \sF \ar[r] 
    & \sB \ar[r] 
    & 0
}
\end{equation*}
avec $\sB$ à support fini. Puisque 
$'\h^i(X,j_\ast j^\ast\sF) = D \h^{2-i} (X,j_\ast(j^\ast\sF)^\vee(1))$ 
d'après \ref{V:1-3}, cet $'\h^i=0$ pour $i<0$ et \eqref{V:eq:2-5-2} et la 
suite exacte longue définie par \eqref{V:eq:2-5-3} montrent que $'\h^i$ est 
toujours nul pour $i<0$. 

Si $\sF=\dZ/n$, le théorème est vrai pour $i=0$ et $2$. Ceci exprime que, 
pour $X$ connexe, le morphisme trace: $\h^2(X,\dmu_n) \iso \dZ/n$ est un 
isomorphisme. D'après \ref{V:2-4}, le théorème reste vrai pour $i=0$ et 
$\sF=f_\ast\dZ/n$. 

Pour $\sF$ à nouveau quelconque et $\sG$ comme plus haut, il existe 
$f:X'\to X$ comme en \ref{V:2-4} tel que $\sG$ se plonge dans $f_\ast\dZ/n$:
\[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \sG \ar[r] 
    & f_\ast\dZ/n \ar[r] 
    & \sQ \ar[r] 
    & 0 \text{.}
}\]
Changeant $X'$ en un $X''/X'$, on peut supposer que 
$\h^i(X,\sF) \to \h^i(X,f_\ast\dZ/n) = \h^i(X',\dZ/n)$ est nul pour $i>0$. 
Considérons alors 
\small
\[\xymatrix@=.3cm{
  0 \ar[r] 
    & \h^0(X,\sG) \ar[r] \ar[d] 
    & \h^0(S',\dZ/n) \ar[r] \ar[d]^-\wr 
    & \h^0(X,\sQ) \ar[r] \ar[d] 
    & \h^1(X,\sG) \ar[r]^-0 \ar[d] 
    & \h^1(X',\dZ/n) \ar[r] \ar[d] 
    & \h^1(X,\sQ) \ar[r] \ar[d] 
    & \cdots \\
  0 \ar[r] 
    & '\h^0(X,\sG) \ar[r] 
    & '\h^0(X',\dZ/n) \ar[r] 
    & '\h^0(X,\sQ) \ar[r] 
    & '\h^1(X,\sG) \ar[r] 
    & '\h^1(X',\dZ/n) \ar[r] 
    & '\h^1(X,\sQ) \ar[r] 
    & \cdots
}\]
\normalsize

L'isomorphisme en $\h^0(X')$ fournit $\h^0(X,\sG)\hookrightarrow '\h^0(X,\sG)$, 
et la même injectivité pour $\sF$ \eqref{V:eq:2-5-2}. Appliqué à $\sQ$, 
cela donne $\h^1(X,\sG)\hookrightarrow '\h^1(X,\sG)$. On applique cela à 
$\h^1(X',\dZ/n)$. Ce groupe ayant même ordre que 
$'\h^1(X',\dZ/n)=D(\h^1(X',\dZ/n)(1))$, on trouve un isomorphisme, et et 
$\h^1(X,\sG) \iso '\h^1(X,\sG)$. De même pour $\sF$. Pour $i=2$, on sait 
déjà que $\h^2(X',\dZ/n) \iso '\h^2(X',\dZ/n)$, et on procède de même, 
puis s'arrête, faute de combattants. 










\section{Dualité de Poincaré pour les courbes}\label{V:3}

Dans ce paragraphe, nous prouvons la compatibilité (\hyperref[I]{Arcata}  
\ref{I:eq:6-2-3-3}). 





\subsection{}\label{V:3-1}

Les notations sont celles de (\hyperref[I]{Arcata} \ref{I:6-2-3}): $\bar X$ est 
une courbe projective, lisse et connexe sur un corps algébriquement clos $k$, 
$D$ est un diviseur réduit sur $\bar X$, $0$ un point de 
$X=\bar X\setminus D$ 
\[\xymatrix{
  X \ar@{^{(}->}[r]^-j 
    & \bar X 
    & \ar[l]_-i D \text{,}
}\]
et $\pic_D(\bar X)=\h^1(\bar X,_D\dG_m)$ où $_D\dG_m$ est le faisceau des 
sections de $\dG_m$ congrues à $1\mod D$. On rappelle que 
$\h^1(X,\dmu_n) = \pic_D^0(\bar X)_n$, et que $x\to \sO(x)$ définit une 
application canonique $f:X\to \pic_D(\bar X)$. On pose 
$f_0(x)=f(x)-f(0):X\to \pic_D^0(\bar X)$.

Notons encore $j$ l'inclusion de $X\times X$ dans $X\times \bar X$. La 
diagonale $\Delta$ de $X\times X$ est fermée dans $X\times \bar X$; elle 
définit une classe dans 
$\h_\Delta^2(X\times X,\dmu_n)=\h_\Delta^2(X\times \bar X,j_!\dmu_n)$. On note 
$c$ son image dans $\h^2(X\times \bar X,j_!\dmu_n)$. 

La formule de K\"unneth assure que 
\[
  \h^\bullet(X\times \bar X,j_!\dmu_n) = \h^\bullet(X,\dZ/n)\otimes \h^\bullet(\bar X,j_!\dmu_n) = \h^\bullet(X,\dZ/n)\otimes \h_c^\bullet(X,\dmu_n) \text{.}
\]
Nous nous proposons de calculer la $(1,1)$-composante de $c$, 
\[
  c^{1,1} \in \h^1(X,\dZ/n)\otimes \h_c^1(X,\dmu_n) = \h^1(X,\h_c^1(X,\dmu_n)) = \h^1\left(X,\pic_D^0(\bar X)_n\right) \text{.}
\]

La suite exacte 
\[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \pic_D^0(\bar X)_n \ar[r] 
    & \pic_D^0(\bar X) \ar[r]^n 
    & \pic_D^0(\bar X) \ar[r] 
    & 0 
}\]
fait de $\pic_D^0(\bar X)$ un $\pic_D^0(\bar X)_n$-torseur sur 
$\pic_D^0(\bar X)$. Notons, $u$ la classe, dans 
$\h^1(X,\h_c^1(X,\dmu_n))=\h^1(X,\pic_D^0(\bar X)_n)$, de son image 
réciproque par $f_0$. 





\begin{proposition_}\label{V:3-2}
Avec les notations précédentes, $c^{1,1}=-u$.
\end{proposition_}

Soit $e$ la différence des images dans $\h^2(X\times \bar X,j_!\dmu_n)$ des 
classes de cohomologie de $\Delta$ et $X\times\{0\}$ étant de type de 
K\"unneth $(0,2)$, on a $c^{1,1}=e^{1,1}$. Soit la suite spectrale de Leray 
pour $\pr_1:X\times \bar X\to X$ et le faisceau $j_!\dmu_n$: 
\[
  E_2^{pq} = \h^p(X,\eR^q {\pr_1}_\ast j_!\dmu_n) = \h^p(X,\h_c^q(X,\dmu_n)) \Rightarrow \h^{p+q}(X\times \bar X,j_!\dmu_n) \text{.}
\]
Elle dégénère: c'est le produit tensoriel de $\h^\bullet(X)$ par la 
suite spectrale de Leray (triviale) pour $\bar X\to \spec(k)$ et le faisceau 
$j_!\dmu_n$. Le diviseur $\Delta-X\times\{0\}$ est fibre par fibre de degré 
$0$, de sorte que l'image de $e$ dans $E^{02}$ est nulle. On peut donc parler 
de son image $\bar e$ dans $E^{1,1}$, et il nous faut montrer que 
$\bar e = -u$. 

Soit $\sG$ sur $X\times\bar X$ le sous-faisceau de $\dG_m$ formé des sections 
locales dont la restriction au sous-schéma $X\times D$ est $1$. On a encore 
une suite exacte 
\begin{equation*}\tag{3.2.1}\label{V:eq:3-2-1}
\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & j_!\dmu_n \ar[r] 
    & \sG \ar[r] 
    & \sG \ar[r] 
    & 0 
}
\end{equation*}
et $e$ est l'image par $\partial$ de la classe $e_1\in \h^1(X\times\bar X,\sG)$ 
du faisceau inversible $\sO(\Delta-X\times\{0\})$ trivialisé par $1$ sur 
$X\times D$. 

L'image directe par $\eR\pr_{1\ast}$ du triangle distingué par 
\eqref{V:eq:2-2-1} est un triangle distingué 
\begin{equation*}\tag{3.2.2}\label{V:eq:3-2-2}
\xymatrix{
  & \ar[r]^-\partial 
    & \eR \pr_{1\ast} j_!\dmu_n \ar[r] 
    & \eR \pr_{2\ast}\sG \ar[r] 
    & \eR \pr_{2\ast}\sG \ar[r]^-\partial 
    & 
}
\end{equation*}
et le diagramme 
\[\xymatrix{
  \h^1(X\times \bar X,\sG) \ar[r]^-\partial \ar@{=}[d]^-{(1)} 
    & \h^2(X\times \bar X,j_!\dmu_n) \ar@{=}[d] \\
  \h^1(X,\eR\pr_{1\ast} \sG) \ar[r]^-\partial 
    & \h^2(X,\eR\pr_{1\ast} j_!\dmu_n) 
}\]
est commutatif: notre problème devient celui d'identifier l'image dans 
$E^{11}=\h^1(X,\h_c^1(X,\dmu_n))$ (l'image dans $E^{02}$ étant nulle) de 
l'image par 
$\partial_{\text{\eqref{V:eq:3-2-2}}}:\h^1(X,\eR\pr_{1\ast}\sG) \to \h^2(X,\eR\pr_{1\ast} j_!\dmu_n)$ 
de la classe, encore notée $e_1$, qui correspond à $e_1$ par 
(1). 

Le faisceau $\eR^1\pr_{1\ast}\sG$ est défini par le schéma en 
groupe sur $X$ image réciproque du groupe algébrique $\pic_D(\bar X)$ sur 
$\spec(k)$, et l'image de $e_1$ dans 
$\h^0(X,\eR^1\pr_\ast\sG) = \hom(X,\pic_D(\bar X))$ est $f_0$. 

Représentons le triangle \eqref{V:eq:3-2-2} comme défini par une suite 
exacte courte de complexes de faisceaux.
\[\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \sA \ar[r] 
    & \sB \ar[r] 
    & \sC \ar[r] 
    & 0 \text{.}
}\]
Soit $\sB'$ le sous-faisceau de 
\[
  \tau_{\leqslant 1} \sB : \cdots \sB^0 \to \ker(d) \to 0 \cdots
\]
obtenu en remplaçant ${\sB'}^1=\ker(d)$ par l'image réciproque, par 
$\ker(d)\to \underline\h^1(\sB) = \pic_D(\bar X)$ sur $X$, de 
$\pic_D^0(\bar X)$ sur $X$. Soient $\sA'=\sA\cap \sB'$ et $\sC'$ l'image de 
$\sB'$. On a $\sA'=\tau_{\leqslant 1}(\sA)$, et $\sC'$ se déduit de $\sC$ 
comme $\sB'$ de $\sB$, d'où un diagramme commutatif de suites exactes courtes 
\begin{equation*}\tag{3.2.3}\label{V:eq:3-2-3}
\xymatrix{
  0 \ar[r] 
    & \sA \ar[r] 
    & \sB \ar[r] 
    & \sC \ar[r] 
    & 0 \\
  0 \ar[r] 
    & \tau_{\leqslant 1} \sA \ar[r] \ar[u] \ar[d] 
    & \sB' \ar[r] \ar[u] \ar[d] 
    & \sC' \ar[r] \ar[u] \ar[d] 
    & 0 \\
  0 \ar[r] 
    & \h_c^1(X,\dmu_n)[1] \ar[r] 
    & \pic_D^0(\bar X)[1] \ar[r] 
    & \pic_D^0(\bar X)[1] \ar[r] 
    & 0
}
\end{equation*}
où la dernière ligne doit être vue comme une suite exactes de complexes 
de faisceaux réduits au degré $1$ sur $X$. 
\begin{enumerate}[a)]
  \item $e\in \hh^2(X,\sA)$ provient de 
    $\widetilde e\in \hh^2(X,\tau_{\leqslant 1}\sA)$ (car son image dans 
    $E^{02}$ est nulle). On cherche l'image $\bar e$ de $\widetilde e$ dans 
    $\hh^2(X,\h_c^1(X,\dmu_n)[-1]) = \h^1(X,\h_c^1(X,\dmu_n))$.
  \item $e_1\in \hh^1(X,\sC)$ provient de $\widetilde e_1\in \hh^1(X,\sC')$, 
    car son image $f_0$ dans $\h^0(X,\pic_D(\bar X))$ est dans 
    $\h^0(X,\pic_D^0(\bar X))$. On peut prendre 
    $\widetilde e=\partial \widetilde e_1$. 
  \item On a donc $\bar e = \partial f_0$, où $\partial $ est défini par 
    \eqref{V:eq:3-2-2}, et où on utilise les isomorphismes usuels 
    $\hh^2(X,\sF[-1]) = \h^1(X,\sF)$. Ces isomorphismes anticommutent à 
    $\partial$, de sorte que $\bar e=-\partial f_0$, pour $\partial$ défini 
    par le suite exacte 
    \[\xymatrix{
      0 \ar[r] 
        & \h_c^1(X,\dmu_n) \ar[r] 
        & \pic_D^0(\bar X) \ar[r] 
        & \pic_D^0(\bar X) \ar[r] 
        & 0 
    }\]
    On conclut par (\hyperref[IV]{Cycles}, \ref{IV:1-1-1}). 
\end{enumerate}





\subsection{}\label{V:3-3}

Pour tout homomorphisme $\varphi:\h_c^1(X,\dmu_n)\to \dZ/n$, soit 
$\varphi(u)\in \h^1(X,\dZ/n)$ l'image de $u$ par 
$\varphi:\h^1(X,\h_c^1(X,\dmu_n)) \to \h^1(X,\dZ/n)$. Si 
$x\in \h_c^1(X,\dmu_n)$, le cup-produit $\varphi(u)\smallsmile x$ est dans 
$\h_c^2(X,\dmu_n)$. On se propose de prouver que 





\begin{proposition_}\label{V:3-4}
$\tr(\varphi(u)\smallsmile x) = \varphi(x)$.
\end{proposition_}

Cette identité se déduit, par application de $\varphi$, de 
\begin{equation*}\tag{3.4.1}\label{V:eq:3-4-1}
  \tr(u\smallsmile x) = x 
\end{equation*}
où $\tr$ est cette fois l'application 
\[\xymatrix{
  \tr:\h_c^2(X,\h_c^1(X,\dmu_n)\otimes\dmu_n) \ar[r] 
    & \h_c^1(X,\dmu_n) \text{,}
}\]
de sorte que $x\mapsto \tr(u\smallsmile x)$ est l'application composée 
\small
\begin{equation*}\tag{3.4.2}\label{V:eq:3-4-2}
\begin{aligned}
&\xymatrix{
  \h_c^1(X,\dmu_n) \ar[r]^-{u\otimes x} 
    & \h^1(X,\h_c^1(X,\dmu_n)) \otimes \h_c^1(X,\dmu_n) 
    & \ar[l]_-\sim \h^1(X,\dZ/n)\otimes \h_c^1(X,\dmu_n) \otimes \h_c^1(X,\dmu_n)} \\ &\xymatrix{
    \ar[r]^-{(1)} 
      & \h_c^2(X,\dmu_n) \otimes \h_c^1(X,\dmu_n) \ar[r]^-{\tr\otimes\operatorname{id}} 
      & \h_c^1(X,\dmu_n)
}
\end{aligned}
\end{equation*}
\normalsize
où (1) est donné par 
$a\otimes b\otimes c\mapsto (a\smallsmile c)\otimes b$. 

Exprimons ce morphisme en terme du morphisme trace 
$\tr:\h_c^3(X\times X,\dmu_n^{\otimes 2}) \to \h_c^2(X,\dmu_n)$ relatif à la 
seconde projection. Pour $x\in \h_c^3$, $\tr(x)$ se calcule ainsi: de ses 
composantes de K\"unneth, on ne garde que celle de type $(2,1)$, et on applique 
$\tr:\h_c^2(X,\dmu_n) \to \dZ/n$. 

Notons $u'$ l'image de $u$ par l'application 
\begin{align*}
&\xymatrix{
  \h^1(X,\h_c^1(X,\dmu_n)) 
    & \ar[l]_-\sim \h^1(X,\dZ/n) \otimes \h_c^1(X,\dmu_n) = \h^1(X,\dZ/n)\otimes \h^1(\bar X,j_!\dmu_n)
} \\
&\xymatrix{
  \ar[r] 
    & \h^2(X\times \bar X,\dZ/n\boxtimes j_!\dmu_n) \text{.}
}
\end{align*}
Vu la relation entre K\"unneth et cup-produit, on a 
\[
  \tr(u\smallsmile x) = -\tr(u'\smallsmile \pr_1^\ast x) \text{.}
\]
Le second cup-produit est celui de (\hyperref[IV]{Cycle} \ref{IV:1-2-4}):
\[\xymatrix{
  \h^2(X\times \bar X,\dZ/n\boxtimes j_!\dmu_n) \otimes \h^1(\bar X\times \bar X,j_!\dmu_n\boxtimes \dZ/n) \ar[r] 
    & \h^3(\bar X\times \bar X,j_!\dmu_n \boxtimes j_!\dmu_n) \text{.}
}\]
Le signe -- provient de la permutation de deux symboles de degré $1$ dans 
(1). Puisque $c\smallsmile\pr_1^\ast x$ et 
$c^{1,1}\smallsmile \pr_1^\ast$ ont même $(2,1)$-composante de 
K\"unneth, et que $u'=c^{1,1}$, on a 
\[
  \tr(u\smallsmile x) = \tr(c\smallsmile \pr_1^\ast x) \text{.}
\]
Le cup-produit à droite peut cette fois s'interpréter comme le 
cup-produit (\hyperref[IV]{Cycle} \ref{IV:1-2-5}) de 
$\cl(\Delta)\in \h_\Delta^2(X\times X,\dmu_n)$ par 
$\pr_1^\ast x\in \h_c^1(\Delta,\dmu_n)$. Sur $\Delta$, on a 
$\pr_1=\pr_2$, d'ù 
\[
  \tr(c\smallsmile \pr_1^\ast x) = \tr(\cl(\Delta)\smallsmile \pr_1^\ast x) = \tr(\cl(\Delta)\smallsmile \pr_2^\ast x) = \tr(\cl(\Delta))\smallsmile x = x \text{.}
\]










\section{Compatibilité SGA 4 XVIII 3.1.10.3}\label{V:4}

Dans \cite[XVIII]{sga4}, en proie au découragement, je n'ai pas vérifié 
la compatibilité du titre. Bien qu'elle s'avère n'être que fumée, je me 
crois tenu du réparer ici cette lacune. Pour $f:X\to S$ séparé de type 
fini, il s'agissait de vérifier que le morphisme d'adjonction 
$\eR f_!\eR f^!\sL\to \sL$ est compatible à toute localisation étale 
$k:V\to S$. Désignant par $k$ et $f$ plusieurs flèches, comme ci-dessous, 
il s'agit de vérifier une commutativité:
\[\xymatrix{
  X_V \ar[r]^-k \ar[d]^-f 
    & X \ar[d]^-f \\
  V \ar[r]^-k 
    & S 
} \qquad 
\xymatrix{
  k^\ast \eR f_! \eR f^!\sL \ar[r]^-{k^\ast(\text{adj})} \ar[d]^-\sim 
    & k^\ast \sL \ar@{=}[d] \\
  \eR f_! \eR f^! k^\ast \sL \ar[r]^-{\text{adj}} 
    & k^\ast \sL \text{.}
}\]
Au niveau des complexes, la commutativité voulue s'écrit (loc. cit.) 
\[\xymatrix{
  k^\ast f_!^\bullet f^!_\bullet \sL \ar[r] \ar[d]^-{(1)} 
    & k^\ast \sL \ar@{=}[d] \\
  f_!^\bullet f^!_\bullet k^\ast \sL \ar[r] 
    & k^\ast \sL \text{.}
}\]
On la vérifie composante par composante, ce qui ramène à une 
compatibilité pour $\sL$ un faisceau et pour chacune des paires de foncteurs 
adjoints $(f_i^!,f_!^i)$, notés simplement $f^!$ et $f_!$. La flèche (1) 
est définie à partir de l'isomorphisme $(2):k^\ast f_!=f_! k^\ast$, et d'un 
morphisme $(3):k^\ast f^! \to f^! k^\ast$ qui s'en déduit. Dans loc. cit., on 
introduit d'abord un morphisme $(4):k_! f_!\to f_! k_!$, déduit de $(2)$ par 
adjonction de $k^\ast=k^!$ et de 
$k_!:k_! f_!\to k_! f_! k^\ast k_!\to k_! k^\ast f_! k_! \to f_! k_!$, et on 
déduit $(3)$ de $(4)$ par adjonction. Il revient au même de déduire $(3)$ 
de $(2)$ par adjonction de $f_!$ et 
$f^!:k^\ast \to f^! f_! k^\ast f^!\to f^! k^\ast f_! f^! \to f^! k^\ast$. 

Écrivant $k$ pour $k^\ast$ et omettant $\sL$, la commutativité est alors 
celle du bord extérieur de 
\[\xymatrix@=.5cm{
  k f_! f^! \ar[r] \ar@{=}[d]
    & f_! k f^! \ar[r] 
    & f_! f^! f_! k f^! \ar[r] 
    & f_! f^! k f_! f^! \ar@{=}[d] \\
  k f_! f^! \ar[d] 
    & & & \ar[lll] f_! f^! k f_! f^! \ar[d] \\
  k 
    & & & \ar[lll] f_! f^! k \text{.}
}\]
En première ligne, on trouve un homomorphisme 
$k _! f^! \to f_! f^! k f_! f^!$, défini parce que $k f_! f^!$ est de la 
forme $f_! X$ ($X=k f^!$); il admet pour rétraction le morphisme 
d'adjonction en seconde ligne, et la commutativité du carré inférieur la 
fonctorialité de ce morphisme d'adjonction. 




